может-ли отец один воспитывать ребёнка или все права только матери

Можно попробовать, тем более, что за ней замечено, что за ребенком она не смотрит. Подавайте на лишение ее родительских прав.

По общему правилу иск о лишении родительских прав предъявляется по месту жительства ответчика (ч. 1 ст. 46 ГПК), включая и случаи, когда одновременно с таким иском заявляются требования о взыскании алиментов.

Родители могут быть лишены родительских прав по основаниям, предусмотренным в ч. 1 ст. 80 КоБС, если установлено их виновное поведение. Данный перечень оснований является исчерпывающим. Каждое из них является самостоятельным для предъявления иска о лишении родителей или одного из них родительских прав. Однако это не исключает предъявление иска к одному или обоим родителям по нескольким основаниям.
Не могут быть лишены родительских прав лица, не выполняющие родительских обязанностей вследствие душевной болезни, слабоумия или иного хронического заболевания, а также по другим обстоятельствам, от них не зависящим, за исключением лиц, страдающих хроническим алкоголизмом или наркоманией.
Статья 80 КоБС.
Родители или один из них могут быть лишены родительских прав в отношении несовершеннолетнего ребенка, если будет установлено, что:

• они уклоняются от воспитания и (или) содержания ребенка;
• они злоупотребляют родительскими правами и (или) жестоко обращаются с ребенком;
• они ведут аморальный образ жизни, что оказывает вредное воздействие на ребенка;
• они отказались от ребенка и подали письменное заявление о согласии на усыновление при их раздельном проживании с ребенком;
• в течение шестимесячного срока после отобрания у них ребенка по решению комиссии по делам несовершеннолетних районного, городского исполнительного комитета, местной администрации района в городе по месту нахождения ребенка не отпали основания для отобрания у них ребенка, указанные в части первой статьи 85-1 настоящего Кодекса.